第306章 非線性偏微分方程組降維問題

  雖然常浩南的獲獎讓學校多了不少宣傳口的工作要做，但唐林天自然也不會忘了前幾天答應的事情。

  沒花幾天功夫，學校裡接的外網就已經可以訪問那幾個比較主流的學術數據庫了。

  常浩南從大概半年前，剛開始認真考慮編寫一個全新的仿真建模軟件時就非常清楚地意識到，多物理場，尤其是強耦合多物理場問題的研究，本質上是對非線性偏微分方程組的求解。

  但這種事情，落實到工程領域的操作上，往往就不是一句話那麽簡單了。

  尤其是考慮到現如今的超級計算機運算速度並不樂觀的情況下。

  絕大多數偏微分方程都沒有辦法求得解析解，至少短時間內，只能從數值解的方向下功夫。

  很多在數學上十分具有美感的解法未必實用。

  傳統上對於非線性偏微分方程動態系統的降維主要采用基於變量離散的方法，典型的比如有限元法，有限體積法和有限差分法，堪稱這一領域的禦三家。

  但也不是沒有其它的思路。

  就比如常浩南某天晚上在機房休息時，無意中看到的這篇論文。

  盡管是應用數學領域的文章，但卻發在了一份看上去毫無關系的化學工程領域期刊上。

  Chemical Engineering Journal
  一份在十幾年後算是聲名赫赫，但這功夫只是剛剛創刊，並不起眼的雜志。

  之所以會吸引他點進去，並用每秒幾Kb的速度下載下來，主要是因為摘要寫得太有吸引力了。

  “目前通用的有限差分法和有限元方法對非線性偏微分方程動態系統進行降維只能得到維數很高的常微分方程系統，在近四十年的時間裡，基於變量分離的系統降維方法得到了飛速發展，在滿足一定的條件下能避免基於空間離散方法帶來的一些本質問題，將一類非線性偏微分方程動態系統降至較低的維數，便於快速分析計算、優化及主動控制器的實現，可以應用於對化學工程領域內常見的力熱耦合問題進行數值分析……”

  盡管涉及到的具體問題和飛行器設計風馬牛不相及，但裡面提到的力熱耦合本來也是常浩南目前面對的最基礎，也是最緊迫的問題。

  這段摘要簡直說到了他的心坎裡。

  他相信幾個月之前，當盧育英在蓉城第一次看到自己那篇論文的時候，內心的通透感也就不外乎如此。

  幾分鍾的下載時間從未如同現在這般漫長。

  常浩南緊盯著屏幕上面一格一格的進度條，幾乎在下載完成的一瞬間就點開了那份文檔。

  “眾所周知，任何一個連續函數能被傅裡葉級數序列的展開式近似表示，基於上述原理，非線性偏微分方程中的時空親和變量，能夠展開成一個無限維空間基函數集合和其對應的時間系數的級數和的形式：
  X(z，t)=(i=1，∞)∑φi(z)xi(t)
  其中xi(t)表示每個基函數φi(z)對應的時間系數……”

  確實很基礎。

  時空變量分離技術並不是什麽新鮮玩意，任何一本數學物理方法或者類似的教材上都能找到，只是一般認為適合使用分離變量法的偏微分方程應該具有一定的形式和特征，如線性、齊次、可分離、系數隻依賴於一個變量等等，這極大地限制了此類方法的應用。

  因此常浩南迅速略過了這部分內容，直接看向了第三節，往往也是正文的第一節：
  為了詳細和清楚地闡述非線性偏微分方程動態系統降維的方法，本小節釆用拋物型非線性偏微分方程系統作為對象進行闡述……

  “來了！”

  看到感興趣內容的他精神一振，就連剛剛的些許困意都瞬間煙消雲散。

  邊界條件和初始條件分別為：

  其中x(z，t)表示時空狀態變量，且為定義在空間區域[a，b]上的無窮維希爾伯特空間上的連續函數。表示空間坐標，z∈[a，b]表示空間座標，為過程定義的實數域上的子空間，t∈[0，∞）表示時間變量……

  ……

  最終，可以得到希爾伯特空間H（[a，b]）中上述非線性偏微分方程系統的表達形式：
  x(z，t)/t=Ax(z，t)+Bu(z，t)+(x，z，t)
  x(z，0)=x0(z)
  下面給出兩個仿真實例，分別是一維空間的無量綱Kuramoto-Sivashinsky方程，以及非等溫管狀反應器的溫度與壓力場……

  “嗯……有點東西……”
    常浩南看到後面，內心了然地點了點頭。

  “總的來說。”

  他從旁邊的打印機裡面抽出一張紙，開始自言自語地總結起來，

  “首先，選擇合適的空間正交基函數且采用時空分離技術對非線性偏微分方程動態系統進行時空變量分離，即將系統的時空親合變量在選定或求得的正交空間基函數上展開，將展開式代入原系統後結合非線性伽遼金方法……”

  一個小時的時間很快在他的寫寫畫畫中過去了。

  雖然文章中用於闡述理論的對象只是個非常簡單的拋物型系統，但後面舉出來的兩個應用算例確實還算可以，配得上作者在摘要裡面吹出來的牛逼。

  這篇文章甚至值得投一個更高影響力的期刊，之所以出現在這裡，大概率是因為作者和主編出自同一個學校，收到了約稿的邀請。

  實際上，常浩南總結到最後，還發現了作者本人都沒有寫出來的部分。

  文章裡面的這套方法不僅可以應用於傳熱和流場計算，只要稍加修改，甚至可以用於處理傳質問題和化學反應過程本身。

  換句話說，化工生產過程涉及到的全部特征“三傳一反”，都可以被囊括進去。

  當然，沒寫出來未必是作者沒發現，很可能是留著東西準備再發一篇文章出來……

  “不過麽……問題也還是有的。”

  常浩南看著面前已經被寫滿的三張草稿紙。

  雖然可以應用的領域非常廣，但並不意味著這篇文章裡提到的方法就是什麽萬能鑰匙，可以直接搬到常浩南所需要的場景下面來。

  “釆用特征函數為空間基函數結合權重殘差方法對非線性偏微分方程動態系統進行降維可以得到有限維常微分方程動態系統來近似原系統的無窮維動態，但本質上還是采用線性手段近似，對於真正的強非線性問題而言仍然不夠，可是如果在降維過程中采用別的空間基函數，如傅裡葉序列函數和正交基函數等，又可能與非線性偏微分方程動態系統本身的特征毫無關聯……”

  想到這裡，他側過頭看了一眼旁邊擺著超算的另外一個房間。

  在理論上當然沒什麽問題，不過真要是開始計算的話……

  由於這個自己負責的計算中心還只是剛剛啟用，因此目前用到它的項目不多，盡管如此，也已經讓這台超算的負荷拉到一個不低的程度了。

  如果擱在十年之後，按照文章裡面的思路硬算未必不可行，但以如今國內的超算水平，恐怕算個相控陣雷達陣面的力熱電耦合高低得花上幾年時間……

  有這時間都造個測試版本出來了。

  肯定是不成的。

  “如果采用平衡截斷方法或者最優化方法呢……”

  常浩南手中的筆尖重新開始在紙上滑動起來。

  很快，第四頁和第五頁草稿紙也被寫滿。

  機房中傳來吱嘎吱嘎的設備運行聲。

  窗外的月亮從地平線爬到半空，又逐漸落下，最終迎來一輪朝陽。

  “我知道了。”

  (本章完)