第五百一十章：聖彼得堡悖論

「是……（這個簡單啊！以前讀書的時候又不是沒做過這種彩票概率題，那我直接把所有可能性列出來唄！）」這種東西甚至都不需要發動尹浩的運算潛力，稍有常識的人都可以簡單口算：「（得到10%乘以10塊錢等於1塊錢，1%乘以100塊錢等於1塊錢，0.1%乘以1000塊錢等於1塊錢，0.01%乘以10000塊錢等於1塊錢……然後就這樣以此類推，後面就是十分之一的N次方乘以十的N次方等於1，最終就是1+1+1+1……這樣一直累算下去，得到……）啊這……」而算到了這裏尹浩才終於發現了十分蹊蹺的地方，「（所有情況累加起來真的可以一直加下去且不收束的，最後還真的就是無窮大？這……這怎麼可能？）」

「啊這……（不管怎麼說這都不應該啊！）」尹浩驚愕之餘立馬又感覺緊張了起來，他隱隱之中察覺到了自己犯了慣性思維上的錯誤，但是一時間有不肯承認如此反直覺的結果：「（等一下，是不是因為我不可能同時中所有獎，所以概率算重複了呢？可是我記得以前算彩票的收益期望，本來就是要把每一個獎項的期望值加起來才對的呀！可為什麼期望值會是無窮大？我感覺我就算有千萬家產，買到傾家蕩產也大概率賺不回自己的本金啊……）」

「怎麼樣？算出來了嗎？」梵棽察覺到了他的心理鬥爭，完全理解了尹浩初期的驚訝，臉上似乎浮現出一種「果然是這樣」的得意神情。

「等一下……這獎……怎麼……買號……開號？」而最終尹浩的倔強居然是想到了按照對方的描述，這種彩票的運作方式就不成立，即便不考慮那個小氣財神是不是真的擁有無限資金，一種彩票擁有無限的可能就意味著要設立無限的號數，那實際上再怎麼隨便買開號也開不完，除非全部用計算器生成讓人自己去慢慢對，比如每一位都是1、2、3、4、5、6、7、8、9、0十個數，第一位對了才能有資格去關心下一位，否則第一位不對就算後面全對了也不行，這樣實際的開獎概率會比較符合梵棽的描述，但關鍵是都讓計算機生成，真的會有人放心嗎？

「啊……這你倒是問到我了，不過我也只是打個比方而已呀！」梵棽眉頭一皺，彷彿遇上了杠精。

「所以……期望……無限……不成立……」不過尹浩嘴上這麼說，實際上當然知道理論於現實的不同。

「我這麼說本來就是方便理解而已，數學裏面本來很多問題就是理想化的，這種彩票確實沒辦法按傳統的方式買號開號，但如果大家都能接受這個設定便可以運行下去，就好像也沒人會相信真的可以有無限的資金來賭，但在數學上總是會作為先決條件來……哎，我解釋這些幹什麼，總之怎麼會去真的考慮實際操作嘛？啊不過我可能一開始就不應該用彩票這個東西來舉例就是了，因為假如把這個問題簡化一下就可以變成，你有一百萬億分之一的幾率得到無限金錢，雖然得到無限錢的概率高多了，期望值也一樣是無窮大，但這世上恐怕沒人玩得起。而且明明這個問題的本身就有一個身邊更常見的檢驗方法，我剛才故意裝了逼自己想當然了……」

「啥？（過去一向沉默寡言的優等生現在居然會承認自己裝逼？那麼穎顥是不是也偷偷……啊，但是更關鍵的問題不在這……）」尹浩突然也覺得對方說的有道理，反正都是討論問題，管他怎麼買號開號，現在的計算機雖然不可能完全實現真隨機，但以假亂真讓隨機性徹底搞人心態還是可以輕鬆辦到的，有那麼多錢開獎難道還沒錢寫代碼和請公正？最終只要大家能接受，這種理論獎勵無上限的彩票肯定還是能吸引人來玩的，就是各種判定的不透明可能會被不少反智人群引申出很多陰謀論來，確實需要一個更簡單直接的方法，所以到底是什麼呢？

「其實我說的這個問題在數學上叫做『聖彼得堡悖論』，是決策論中的一個悖論，是數學家伯努利在十八世紀提出的一個關於概率期望值的悖論，它最早來自於一種擲幣遊戲，即聖彼得堡遊戲。說是這個遊戲設定一枚硬幣假設是完全沒有技巧，隨機地拋，也不會考慮立起來的情況，那麼可以設定擲出正面或者反面為成功，另一面為失敗，參與的遊戲者如果第一次投擲失敗，則隻得獎金2元，遊戲結束；第一次若沒失敗，就繼續投擲，第二次投失敗得獎金4元，遊戲結束；這樣，遊戲者如果投擲不失敗就反覆繼續投擲，直到失敗，那麼遊戲結束。所以如果第N次投擲才是敗，則得獎金2的N次方元，並且遊戲結束。」

「哦……（這個聽起來確實更簡單，投硬幣嘛，排除掉技術性或立起來的意外無外乎就兩種可能，成功了再來一次，失敗了就結束，都有二分之一的概率不斷遞進到下一級，跟栩棋的長高機制確實是有一點相似，但好像又有點不一樣……）」

「按照概率期望值的計算方法，將每一個可能結果的得獎值乘以該結果發生的概率即可得到該結果獎值的期望值。遊戲的期望值即為所有可能結果的期望值之和。隨著N的增大，以後的結果雖然概率很小，但是其獎值越來越大，每一個結果的期望值均為1，所有可能結果的得獎期望值之和，即遊戲的期望值，最終就將算出無窮大。而按照概率的理論，多次試驗的結果將會接近於其數學期望。只不過實際的投擲結果和計算都表明，多次投擲的結果，就算投特麽幾億次，其平均值最多也就是幾十元，次數的增加雖然也會使平均值增加，但增加的幅度到後面也會異常緩慢。我這麼說，你感覺出什麼門道了嗎？」

「嘶……（聽上去跟之前那個彩票的問題差不多，只不過那一個是每一級概率小十分之一獎勵翻十倍，而這一個是每一級概率小二分之一獎勵翻兩倍，從幅度上就看似更合理一些了。如果說栩棋也是這樣長高的話真的能實現平時看起來長得不快，但期望值其實是無限大啊！可也不對啊，依泉是說每一級降低二分之一概率是多長0.5毫米，而不是多長一倍啊！難道他們某一方的測算出現了問題？如果是按『聖彼得堡悖論』那種增長法，栩棋每天長高的幅度無疑會波動更大，再從記錄中找規律就很容易發現完全不是依泉說的那麼一回事了，所以這到底是什麼情況？）」也許是剛睡醒腦袋還不清醒，又被栩棋的講話氣個半死，再來就是給梵棽的變化嚇到了，尹浩才終於反應過來二者所描述的這二種條件下，對結果影響的最本質區別。

「……而且雖然看上去理論不符合實際，但『聖彼得堡悖論』對於我們習慣根據事情的期望做決策時也有不小的啟示，許多悖論問題可以歸為數學問題，但它同時又是一個思維科學和哲學問題啊！畢竟悖論問題的實質還是人類自身思維的矛盾性。所以從廣義上講，悖論不僅包括人們思維成果之間的矛盾，也包括思維成果與現實世界的明顯的矛盾性。這對於各個學科各個層次的悖論的研究，歷來是科學理論發展的動力。而『聖彼得堡悖論』這個問題就恰恰反映了人類自身思維的矛盾性，那麼這首先具有一定的哲學研究的意義了……」

「等……等一下……」尹浩也不知道對方怎麼突然就開始饒有興緻地長篇大論起來，「（這傢夥……怎麼突然化身為穎顥手裏的小話筒了？優等生啊優等生，，你跟她搭檔的時候是不是因為自己腦子裏也有晶片就被做了什麼？要是被白毛也改造成『阿貓阿狗』了就眨眨眼好麽？）」

但梵棽依然在自顧自地滔滔不絕：「其次你看啊，它是不是反映了決策理論和實際之間的根本差別？要知道人們總是不自覺地把模型與實際問題進行比較，但決策理論模型與實際問題並不是一個東西；『聖彼得堡悖論』的理論模型是一個概率模型，它不僅是一種理論模型，而且本身就是一種統計的『近似的』模型。在實際問題涉及到無窮大的時候，連這種近似也變得不可能了。哇，這簡直是太奇妙了……」

「等……一下！」尹浩最終不得不用自己沙啞的嗓音聲嘶力竭地喝止住對方如脫韁野馬的跑題，「（我勒個去，真是不吼不知道，我現在都已經這麼虛弱了嗎？）」